क्रिसमस क्विज़ के मज़ेदार गणितीय पहेलियों के चौंकाने वाले समाधान

यहाँ 23 दिसंबर को सेट किए गए फेस्टिव मैथ्स क्विज़ के जवाब दिए गए हैं। मुझे उम्मीद है कि आपको यह पसंद आया होगा। पहेली 1: आपको नौ सोने के सिक्के दिए गए हैं जो एक जैसे दिखते हैं। आपको बताया गया है कि उनमें से एक नकली है और उस सिक्के का वज़न असली सिक्कों से कम है। पुराने ज़माने के तराजू का इस्तेमाल करके, आपको यह पता लगाने के लिए कम से कम कितनी बार तोलना होगा कि नकली सिक्का कौन सा है? समाधान: आप यह सिर्फ़ दो बार तोलकर कर सकते हैं:

(1) नौ सिक्कों को तीन-तीन के तीन सेट में बाँटें, और इनमें से दो सेट को एक-दूसरे के सामने तोलें। अगर एक सेट दूसरे से हल्का है, तो नकली सिक्का इन तीन सिक्कों में से एक है। अगर दोनों सेट का वज़न बराबर है, तो नकली सिक्का उन तीन बिना तोले गए सिक्कों में है।

(2) अब नकली सिक्के वाले सेट को लें, और उसके दो सिक्कों को एक-दूसरे के सामने तोलें। अगर कोई एक हल्का है, तो वह नकली है। अगर उनका वज़न बराबर है, तो तीसरा सिक्का नकली है। पहेली 2: आपको क्रिसमस डिनर बनाने में मदद करने के लिए समय में पीछे भेजा गया है। आपका काम क्रिसमस पाई बनाना है, लेकिन आपके पास सिर्फ़ दो एग-टाइमर हैं: एक जो ठीक चार मिनट का समय बताता है, और एक जो ठीक सात मिनट का समय बताता है। आप ठीक दस मिनट का समय कैसे बता सकते हैं?

समाधान: इस पहेली के कई जवाब हैं, लेकिन अगर शेफ़ चाहता है कि आप यह पाई जितनी जल्दी हो सके पकाएँ, तो इसे ऐसे करें:

• दोनों टाइमर एक ही समय पर शुरू करें।
• जब चार मिनट का टाइमर खत्म हो जाए, तो सात मिनट के टाइमर में तीन मिनट बचे होंगे। इस समय, पाई को ओवन में डाल दें।
• जब सात मिनट के टाइमर पर बचे हुए तीन मिनट खत्म हो जाएँ, तो सात मिनट के टाइमर को पलट दें।
• सात मिनट के टाइमर को पूरा चलने दें, फिर तुरंत पाई को बाहर निकाल लें। पाई ठीक दस मिनट तक ओवन में रही होगी। पहेली 3: अब आपको मल्ल्ड वाइन बाँटने का काम सौंपा गया है, जो अभी दो पूरे दस-लीटर के बैरल में है। शेफ़ आपको एक पाँच-लीटर की बोतल और एक चार-लीटर की बोतल देता है, दोनों खाली हैं। वह आपको आदेश देता है कि आप बोतलों में बिना एक बूँद भी बर्बाद किए, ठीक तीन-तीन लीटर वाइन भरें। आप यह कैसे कर सकते हैं? समाधान: यहाँ 11 स्टेप्स में एक समाधान दिया गया है (नीचे दी गई टेबल देखें), जिसमें हर बैरल और बोतल में मुलल्ड वाइन की मात्रा रिकॉर्ड की गई है। B1 और B2 दो दस-लीटर के बैरल हैं; b5 और b4 क्रमशः पाँच-लीटर और चार-लीटर की बोतलें हैं।

नोट: हो सकता है आपको मुझसे ज़्यादा तेज़ समाधान मिल गया हो, लेकिन मैं यही सोच पाया! पहेली 4: मान लीजिए क्रिसमस के 100 दिन हैं। n-वें दिन, आपको तोहफ़े के तौर पर £n मिलते हैं, जो पहले दिन £1 से लेकर आखिरी दिन £100 तक होते हैं। क्या आप सभी 100 संख्याओं को मेहनत से जोड़े बिना, आपको दी गई कुल रकम का हिसाब लगा सकते हैं? समाधान: जब कार्ल फ्रेडरिक गॉस से उनके गणित के टीचर ने यह सवाल पूछा, तो कहा जाता है कि उस उभरते हुए गणितज्ञ ने यह कैलकुलेशन किया:

मान लीजिए s पहले 100 अंकों का योग है। तो हम लिख सकते हैं: s = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100

लेकिन हम इसे उल्टा भी लिख सकते हैं: s = 100 + 99 + 98 + … + 4 + 3 + 2 + 1

अगर अब हम इन दोनों समीकरणों को वर्टिकली टर्म-बाय-टर्म जोड़ते हैं, तो हम देखते हैं कि बाईं ओर s + s = 2s है।

दाईं ओर, फिर से वर्टिकली जोड़ने पर, हर दो टर्म का योग हमेशा एक जैसा होता है, यानी 101 (1 + 100, 2 + 99 वगैरह)। और कुल 100 टर्म हैं – इसलिए दाईं ओर कुल का आसान कैलकुलेशन 100 * 101 = 10,100 है। इसलिए: 2s = 10,100, और s = 5,050। आपको दी गई कुल रकम £5,050 है।यहाँ 23 दिसंबर को सेट किए गए फेस्टिव मैथ्स क्विज़ के जवाब दिए गए हैं। मुझे उम्मीद है कि आपको यह पसंद आया होगा। पहेली 1: आपको नौ सोने के सिक्के दिए गए हैं जो एक जैसे दिखते हैं। आपको बताया गया है कि उनमें से एक नकली है और उस सिक्के का वज़न असली सिक्कों से कम है। पुराने ज़माने के तराजू का इस्तेमाल करके, आपको यह पता लगाने के लिए कम से कम कितनी बार तोलना होगा कि नकली सिक्का कौन सा है?

समाधान: आप यह सिर्फ़ दो बार तोलकर कर सकते हैं:

(1) नौ सिक्कों को तीन-तीन के तीन सेट में बाँटें, और इनमें से दो सेट को एक-दूसरे के सामने तोलें। अगर एक सेट दूसरे से हल्का है, तो नकली सिक्का इन तीन सिक्कों में से एक है। अगर दोनों सेट का वज़न बराबर है, तो नकली सिक्का उन तीन बिना तोले गए सिक्कों में है।

(2) अब नकली सिक्के वाले सेट को लें, और उसके दो सिक्कों को एक-दूसरे के सामने तोलें। अगर कोई एक हल्का है, तो वह नकली है। अगर उनका वज़न बराबर है, तो तीसरा सिक्का नकली है। पहेली 2: आपको क्रिसमस डिनर बनाने में मदद करने के लिए समय में पीछे भेजा गया है। आपका काम क्रिसमस पाई बनाना है, लेकिन आपके पास सिर्फ़ दो एग-टाइमर हैं: एक जो ठीक चार मिनट का समय बताता है, और एक जो ठीक सात मिनट का समय बताता है। आप ठीक दस मिनट का समय कैसे बता सकते हैं?

समाधान: इस पहेली के कई जवाब हैं, लेकिन अगर शेफ़ चाहता है कि आप यह पाई जितनी जल्दी हो सके पकाएँ, तो इसे ऐसे करें:

• दोनों टाइमर एक ही समय पर शुरू करें।
• जब चार मिनट का टाइमर खत्म हो जाए, तो सात मिनट के टाइमर में तीन मिनट बचे होंगे। इस समय, पाई को ओवन में डाल दें।
• जब सात मिनट के टाइमर पर बचे हुए तीन मिनट खत्म हो जाएँ, तो सात मिनट के टाइमर को पलट दें।
• सात मिनट के टाइमर को पूरा चलने दें, फिर तुरंत पाई को बाहर निकाल लें। पाई ठीक दस मिनट तक ओवन में रही होगी। पहेली 3: अब आपको मल्ल्ड वाइन बाँटने का काम सौंपा गया है, जो अभी दो पूरे दस-लीटर के बैरल में है। शेफ़ आपको एक पाँच-लीटर की बोतल और एक चार-लीटर की बोतल देता है, दोनों खाली हैं। वह आपको आदेश देता है कि आप बोतलों में बिना एक बूँद भी बर्बाद किए, ठीक तीन-तीन लीटर वाइन भरें। आप यह कैसे कर सकते हैं? समाधान: यहाँ 11 स्टेप्स में एक समाधान दिया गया है (नीचे दी गई टेबल देखें), जिसमें हर बैरल और बोतल में मुलल्ड वाइन की मात्रा रिकॉर्ड की गई है। B1 और B2 दो दस-लीटर के बैरल हैं; b5 और b4 क्रमशः पाँच-लीटर और चार-लीटर की बोतलें हैं।

नोट: हो सकता है आपको मुझसे ज़्यादा तेज़ समाधान मिल गया हो, लेकिन मैं यही सोच पाया! पहेली 4: मान लीजिए क्रिसमस के 100 दिन हैं। n-वें दिन, आपको तोहफ़े के तौर पर £n मिलते हैं, जो पहले दिन £1 से लेकर आखिरी दिन £100 तक होते हैं। क्या आप सभी 100 संख्याओं को मेहनत से जोड़े बिना, आपको दी गई कुल रकम का हिसाब लगा सकते हैं?

समाधान: जब कार्ल फ्रेडरिक गॉस से उनके गणित के टीचर ने यह सवाल पूछा, तो कहा जाता है कि उस उभरते हुए गणितज्ञ ने यह कैलकुलेशन किया:

मान लीजिए s पहले 100 अंकों का योग है। तो हम लिख सकते हैं: s = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100

लेकिन हम इसे उल्टा भी लिख सकते हैं: s = 100 + 99 + 98 + … + 4 + 3 + 2 + 1

अगर अब हम इन दोनों समीकरणों को वर्टिकली टर्म-बाय-टर्म जोड़ते हैं, तो हम देखते हैं कि बाईं ओर s + s = 2s है।

दाईं ओर, फिर से वर्टिकली जोड़ने पर, हर दो टर्म का योग हमेशा एक जैसा होता है, यानी 101 (1 + 100, 2 + 99 वगैरह)। और कुल 100 टर्म हैं – इसलिए दाईं ओर कुल का आसान कैलकुलेशन 100 * 101 = 10,100 है।

इसलिए: 2s = 10,100, और s = 5,050। आपको दी गई कुल रकम £5,050 है।

पहेली 5: यहाँ संख्याओं का एक क्रिसमस वाला सीक्वेंस है। सीक्वेंस में पहले छह नंबर हैं: 9, 11, 10, 12, 9, 5 … (ध्यान दें: इस पहेली के कुछ वर्जन में पाँचवाँ नंबर 11 है।) इस सीक्वेंस में अगला नंबर क्या है?

उत्तर: यह सीक्वेंस क्रिसमस के 12 दिनों में दिए गए हर लगातार तोहफ़े में अक्षरों की संख्या है। तो जवाब 5 है, हंसों के लिए। यहाँ पूरी लिस्ट है:

पार्ट्रिज (9), टर्टल डव्स (11), फ्रेंच हेन्स (10), कॉलिंग बर्ड्स (12), गोल्ड रिंग्स (9, या 11 उनके लिए जो “गोल्डन” गाते हैं), गीज़ (5), स्वान्स (5), मेड्स (5), लेडीज़ (6), लॉर्ड्स (5), पाइपर्स (6), ड्रमर्स (8)।

ध्यान दें: यह एक गैर-गणितीय पहेली लग सकती है, लेकिन गणित – और बड़े पैमाने पर, आलोचनात्मक और रचनात्मक सोच – कुछ हद तक ऐसे पैटर्न को पहचानने पर निर्भर करती है जो पहली नज़र में थोड़े कमज़ोर लग सकते हैं। दूसरे विश्व युद्ध के दौरान मित्र देशों के कोड-ब्रेकिंग मुख्यालय ब्लेचले पार्क में भर्ती आंशिक रूप से एक क्रिप्टिक क्रॉसवर्ड को हल करने की क्षमता पर आधारित थी। पहेली 6: निम्नलिखित 100 कथनों में से कौन सा एकमात्र सत्य है?

इस सूची में ठीक एक कथन गलत है।
इस सूची में ठीक दो कथन गलत हैं।… और इसी तरह जब तक:
इस सूची में ठीक 99 कथन गलत हैं।
इस सूची में ठीक 100 कथन गलत हैं।
उत्तर: इस सूची में केवल 99वाँ कथन सत्य है। क्योंकि 100 कथन हैं, और n-वाँ कथन कहता है कि सूची में ठीक n कथन गलत हैं, यह तभी सच हो सकता है जब n = 99 हो।

पहेली 7: आप और आपके दोस्त आर्थर और बॉब ने क्रिसमस की टोपी पहनी हुई है जो या तो लाल या हरी है। कोई भी अपनी टोपी का रंग नहीं देख सकता लेकिन आप सभी दूसरे दो लोगों की टोपी देख सकते हैं। आर्थर और बॉब दोनों की टोपी लाल हैं।

आप सभी को बताया जाता है कि कम से कम एक टोपी लाल है। आर्थर कहता है: “मुझे नहीं पता कि मेरी टोपी का रंग क्या है।” फिर बॉब कहता है: “मुझे नहीं पता कि मेरी टोपी का रंग क्या है।” यह मानते हुए कि आपके दोस्तों का तर्क त्रुटिहीन है, क्या आप यह पता लगा सकते हैं कि आपकी क्रिसमस टोपी का रंग क्या है? हल: आपकी टोपी लाल होनी चाहिए। अगर आपकी टोपी हरी होती, तो आर्थर और बॉब दोनों को एक हरी और एक लाल टोपी दिखती। इसलिए जब आर्थर कहता है कि उसे अपनी टोपी का रंग नहीं पता, तो बॉब तुरंत समझ जाता कि उसकी टोपी लाल है। लेकिन क्योंकि बॉब को अपनी टोपी का रंग नहीं पता, बॉब को दो लाल टोपियाँ दिख रही होंगी, और इसलिए आप यह अंदाज़ा लगा सकते हैं कि आपकी टोपी लाल है।

पहेली 8: आपके क्रिसमस ट्री के नीचे तीन बॉक्स हैं। एक में दो छोटे तोहफ़े हैं, एक में कोयले के दो टुकड़े हैं, और एक में एक छोटा तोहफ़ा और कोयले का एक टुकड़ा है। हर बॉक्स पर एक लेबल लगा है जो दिखाता है कि अंदर क्या है – लेकिन लेबल आपस में मिल गए हैं, इसलिए हर बॉक्स पर अभी गलत लेबल लगा है। आपको बताया जाता है कि आप सिर्फ़ एक बॉक्स से एक चीज़ बाहर निकाल सकते हैं। आपको कौन सा बॉक्स चुनना चाहिए ताकि आप लेबल बदल सकें और हर लेबल अपने बॉक्स के अंदर की चीज़ों से सही ढंग से मेल खाए?

हल: क्योंकि सभी बॉक्स पर गलत लेबल लगे हैं, आप जानते हैं कि अगर आप उस बॉक्स को खोलते हैं जिस पर अभी एक छोटा तोहफ़ा और कोयले का एक टुकड़ा लिखा है, तो आपको या तो दो छोटे तोहफ़े या कोयले के दो टुकड़े दिखेंगे। मान लीजिए आप उसे खोलते हैं और दो छोटे तोहफ़े देखते हैं। तो दो छोटे तोहफ़े वाला लेबल इस बॉक्स पर लगना चाहिए। और क्योंकि आप यह भी जानते हैं कि हर बॉक्स पर असल में गलत लेबल लगा था, तो एक छोटा तोहफ़ा और कोयले का एक टुकड़ा वाला लेबल उस बॉक्स पर जाना चाहिए जिस पर अभी कोयले के दो टुकड़े लिखा है। आखिर में, कोयले के दो टुकड़े वाला लेबल उस बॉक्स पर जाएगा जिस पर असल में दो छोटे तोहफ़े लिखा था।

पहेली 9: किचन में संतरे के जूस की एक लीटर की बोतल और सेब के जूस की एक लीटर की बोतल है। जैक संतरे के जूस का एक बड़ा चम्मच सेब के जूस की बोतल में डालता है, फिर उसे अच्छी तरह मिलाता है ताकि वह समान रूप से मिल जाए। अब जिल उस सेब के जूस की बोतल से एक बड़ा चम्मच लिक्विड लेती है और उसे वापस संतरे के जूस की बोतल में डाल देती है। क्या अब सेब के जूस की बोतल में ज़्यादा संतरे का जूस है, या संतरे के जूस की बोतल में ज़्यादा सेब का जूस है?

हल: दोनों बराबर हैं। यह “इनवेरिएंस” का एक अच्छा उदाहरण है – यह एक ऐसा शब्द है जो गणित में बहुत इस्तेमाल होता है। आखिर में, चम्मच से जूस मिलाने और सब कुछ मिक्स करने के बाद, एप्पल जूस की बोतल में संतरे के जूस की मात्रा ने उतनी ही मात्रा में एप्पल जूस की जगह ले ली होगी जो असल में उस बोतल में था, क्योंकि हर बोतल में लिक्विड की मात्रा अभी भी एक लीटर है (वे अपरिवर्तित रहे हैं)। पहेली 10: सांता के होम टाउन में, सभी नोटों पर एक तरफ सांता या मिसेज़ क्लॉज़ की तस्वीरें होती हैं, और दूसरी तरफ़ या तो तोहफ़े या बारहसिंगे की तस्वीरें होती हैं। एक छोटा एल्फ़ टेबल पर चार नोट इस क्रम में रखता है, जिन पर ये तस्वीरें हैं:

सांता | मिसेज़ क्लॉज़ | तोहफ़ा | बारहसिंगा

अब एक बड़ा, समझदार एल्फ़ उससे कहता है: “अगर नोट के एक तरफ़ सांता है, तो दूसरी तरफ़ तोहफ़ा ज़रूर होगा।” छोटे एल्फ़ को कौन से नोट पलटने चाहिए ताकि यह पता चल सके कि बड़े एल्फ़ की बात सच है? समाधान: सबसे पहले, छोटे एल्फ़ को वह नोट पलटना चाहिए जिस पर सांता है। अगर दूसरी तरफ़ तोहफ़ा नहीं है, तो बड़ा एल्फ़ झूठ बोल रहा है। इसके बाद, छोटे एल्फ़ को बारहसिंगे वाला नोट पलटना चाहिए ताकि यह पक्का हो सके कि दूसरी तरफ़ सांता नहीं है। फिर से, अगर दूसरी तरफ़ सांता होता, तो बड़ा एल्फ़ झूठ बोल रहा होता। तोहफ़े वाला नोट पलटने का मन कर सकता है। लेकिन बड़ा एल्फ़ सिर्फ़ कहता है “अगर सांता है, तो तोहफ़ा होगा”, जिसका मतलब यह नहीं है कि “अगर तोहफ़ा है, तो सांता होगा”। इसलिए इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि तोहफ़े वाले नोट की दूसरी तरफ़ सांता है या मिसेज़ क्लॉज़ – और इससे भी कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि मिसेज़ क्लॉज़ वाले नोट की दूसरी तरफ़ क्या है, क्योंकि बड़ा एल्फ़ उन नोटों के बारे में कुछ नहीं कहता।

बोनस पहेली का समाधान
सांता अपनी स्लेज पर ग्रीनलैंड से नॉर्थ पोल तक 30 मील प्रति घंटे की रफ़्तार से यात्रा करता है, फिर तुरंत नॉर्थ पोल से ग्रीनलैंड वापस 40 मील प्रति घंटे की रफ़्तार से आता है। सांता की पूरी यात्रा की औसत गति क्या है?

समाधान: यह पहेली शायद इस बात का एक उदाहरण है जिसे मनोवैज्ञानिक डैनियल कहनमैन ने थिंकिंग फ़ास्ट एंड स्लो कहा था। हमारा तेज़ सोचने वाला सिस्टम शायद कहेगा “बस औसत निकाल लो”, और इसलिए हम 35 मील प्रति घंटे का अनुमान लगाएंगे। एक सही जवाब, लेकिन गलत।
हमारे धीमे सोचने वाले सिस्टम की यहाँ ज़रूरत है – जिसका इस्तेमाल करना मुश्किल होता है, जिसके लिए बीजगणित और क्रिटिकल थिंकिंग जैसे टूल्स की ज़रूरत होती है। सबसे पहले, आइए कुछ वैरिएबल सेट करते हैं:

• मान लीजिए d ग्रीनलैंड से नॉर्थ पोल तक की दूरी है।
• मान लीजिए t₁ जाने की यात्रा में लगा समय है।
• मान लीजिए t₂ वापसी की यात्रा में लगा समय है। स्टैंडर्ड इक्वेशन “स्पीड = दूरी बटे समय” का इस्तेमाल करके, हम कह सकते हैं:

30 = d/t₁ और 40 = d/t₂

इन इक्वेशन्स को रीअरेंज करने पर, हम यह भी जानते हैं कि t₁ = d/30 और t₂ = d/40

क्योंकि सांता आने और जाने में उतनी ही दूरी तय करता है, इसलिए उसकी कुल तय की गई दूरी 2d है। और पूरी यात्रा के लिए औसत स्पीड कुल दूरी को लिए गए कुल समय से डिवाइड करने पर मिलती है: 2d/(t₁ + t₂)

ऊपर दी गई सभी बातों का इस्तेमाल करके, हम कह सकते हैं कि सांता की यात्रा की औसत स्पीड 2d/(d/30 + d/40) है

अब, (d/30 + d/40) = (4d/120 + 3d/120) = 7d/120

तो सांता की औसत स्पीड = 2d / (7d/120) = 240/7 = 34.3

इस इक्वेशन में, ‘d’ कैंसिल हो जाते हैं। इसका मतलब है कि हम दूरी या सांता को यात्रा करने में लगे समय को जाने बिना भी यात्रा की औसत स्पीड निकाल सकते हैं। यही अलजेब्रा की ताकत है: यह आपको क्वांटिटी का इस्तेमाल करने और उन्हें मैनिपुलेट करने की अनुमति देता है, भले ही आपको पता न हो कि वे क्वांटिटी क्या हैं। जवाब यह है कि सांता ने 34.3 मील प्रति घंटे की औसत स्पीड से यात्रा की। यह आर्टिकल द कन्वर्सेशन से क्रिएटिव कॉमन्स लाइसेंस के तहत दोबारा पब्लिश किया गया है। ओरिजिनल आर्टिकल पढ़ें।

नए खबरों के लिए बने रहे सटीकता न्यूज के साथ।